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cmath常用函数

在C++算法竞赛中，处理数学相关的逻辑绝大多数依赖于 <cmath> 头文件（部分依赖 <numeric> 和 <cstdlib>）。和 <algorithm> 一样，熟练调用这些标准库函数可以帮你避开很多底层的精度坑。

以下是竞赛中最常用的数学函数分类总结与核心用法：

一、 幂次与开方

1. sqrt() 与 cbrt() * 作用： sqrt(x) 计算平方根，cbrt(x) 计算立方根（C++11加入）。 * 返回值： 均为浮点数（double）。 * 代码示例： 

double a = sqrt(16.0); // 4.0
double b = cbrt(27.0); // 3.0

2. pow() * 作用： 计算 x 的 y 次方 pow(x, y)。 * ⚠️ 竞赛巨坑： pow 的返回值是浮点数！绝对不要用它来计算大整数的乘方（比如 pow(2, 30)），极易因为浮点数精度丢失导致结果偏差（比如变成 1073741823.999... 被截断成错的整数）。 * 正确替代方案： * 算 2 的次幂：直接用位运算 1LL << y。 * 算整数次幂并取模：手写快速幂（Quick Pow）。

3. hypot() * 作用： 计算直角三角形的斜边长，即 sqrt(x*x + y*y)。 * 优势： 在计算两点间距离时非常好用，且内部做了优化，能避免 x*x + y*y 在求和前就发生整型溢出。 

double dist = hypot(dx, dy);

二、 取整与绝对值

1. abs() 与 fabs() * 作用： 求绝对值。 * 区别： * abs()：原本在 <cstdlib> 中用于整型 int。但在 C++11 之后，<cmath> 对其进行了重载，支持浮点数。 * fabs()：专门用于求浮点数的绝对值。竞赛中处理 double 时，用 fabs() 是最稳妥的习惯。

2. ceil(), floor(), round() * 作用： * ceil(x)：向上取整（天花板，找大于等于 x 的最小整数）。 * floor(x)：向下取整（地板，找小于等于 x 的最大整数）。 * round(x)：四舍五入。 * 返回值： 它们返回的依然是浮点数，如果赋给 int 会发生隐式转换。

三、 指数与对数

1. log(), log10(), log2() * 作用： * log(x)：计算以 \(e\) 为底的自然对数 (\(\ln x\))。 * log10(x)：计算以 10 为底的对数。 * log2(x)：计算以 2 为底的对数。 * 竞赛场景： 经常用于计算一个数字的位数，或者在数据结构（如 RMQ 问题的 ST 表）中预处理对数数组。

2. exp() * 作用： 计算 \(e^x\)。

四、 三角函数与 \(\pi\)

1. sin(), cos(), tan() * 注意： C++ 中所有三角函数的参数都是弧度制，不是角度制。

2. asin(), acos(), atan(), atan2() * 作用： 反三角函数。 * 高频用法 (atan2)： atan2(y, x) 用于计算点 (x, y) 与原点连线和 x 轴正半轴的夹角（极角），范围是 (-pi, pi]。在极角排序（计算几何经典问题）中必用。 * 获取高精度 \(\pi\) 的标准姿势： 竞赛中一般不手写 3.1415926，而是利用反余弦函数生成： 

const double PI = acos(-1.0);

五、 现代 C++ 补充 (在 <numeric> 头文件中)

如果你使用的是 C++17 或以上标准（现在各大 OJ 基本都支持）：

1. std::gcd() 与 std::lcm() * 作用： 计算最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。 * 优势： 直接取代了手写欧几里得算法 return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); 或者非标准的 __gcd。 

#include <numeric>
int g = std::gcd(12, 18); // 6
int l = std::lcm(12, 18); // 36

💡 竞赛实战避坑指南：

  1. 浮点数比较的 eps 陷阱： 计算机存储浮点数有精度误差。永远不要用 a == b 来比较两个浮点数！必须引入一个极小值 eps（通常取 1e-9）。 

    const double eps = 1e-9;
if (fabs(a - b) < eps) { ... } // 判断 a == b
if (a - b > eps) { ... }       // 判断 a > b
if (a - b < -eps) { ... }      // 判断 a < b

  2. 整数除法向上取整的优雅写法： 如果你要把整数 A 除以 B 并向上取整，不要写 ceil((double)A / B)，这会引入不必要的浮点数运算和潜在精度问题。 正确写法（要求 A 和 B 均为正数）： (A + B - 1) / B

  3. 当心 NaN (Not a Number)： 如果你对负数求 sqrt()，或者求 acos(x) 时 x 超过了 [-1, 1] 的范围（通常是因为浮点误差变成了 1.000000001），函数会返回 NaN。后续任何与 NaN 的运算结果都会变成乱码。在求反三角函数前，最好对 x 稍微做一下截断保护。