P1024 [NOIP 2001 提高组] 一元三次方程求解

题目描述

有形如：\(a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\) 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（\(a,b,c,d\) 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 \(-100\) 至 \(100\) 之间），且根与根之差的绝对值 \(\ge 1\)。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 \(2\) 位。

提示：记方程 \(f(x) = 0\)，若存在 \(2\) 个数 \(x_1\) 和 \(x_2\)，且 \(x_1 < x_2\)，\(f(x_1) \times f(x_2) < 0\)，则在 \((x_1, x_2)\) 之间一定有一个根。

输入格式

一行，\(4\) 个实数 \(a, b, c, d\)。

输出格式

一行，\(3\) 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 \(2\) 位。

输入输出样例 #1

输入 #1

1 -5 -4 20

输出 #1

-2.00 2.00 5.00

说明/提示

【题目来源】

NOIP 2001 提高组第一题

Tip

b站讲解

解题思路

• 定义函数： (\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\))

• 已知：

• 有 3 个不同实根

• 根在 ([-100, 100])
• 任意两根间距 ≥ 1

👉 可以按整数区间枚举： 遍历区间 ([i, i+1])（i 从 -100 到 99）

• 若满足：

• f(i) == 0 → i 是一个根

• f(i) * f(i+1) < 0 → 区间内有根（介值定理）

👉 对每个有根的区间，用二分法求精确值

二分细节

在区间 [l, r] 内：

• 不断取 mid

• 判断 f(l) * f(mid)：

• < 0 → 根在左边

• 否则 → 根在右边

迭代到精度（如 0.001）即可

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C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double a, b, c, d;

double f(double x) {
    return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;
}

int main() {
    cin >> a >> b >> c >> d;

    for (int i = -100; i < 100; i++) {
        double l = i, r = i + 1;

        if (fabs(f(l)) < 1e-8) {
            printf("%.2f ", l);
            continue;
        }

        if (f(l) * f(r) < 0) {
            // 二分
            while (r - l > 1e-4) {
                double mid = (l + r) / 2;
                if (f(l) * f(mid) <= 0)
                    r = mid;
                else
                    l = mid;
            }
            printf("%.2f ", l);
        }
    }

    return 0;
}

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核心总结

• 枚举区间找“变号”
• 每个区间用二分逼近
• 利用：连续函数 + 介值定理