P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

题目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 \(M\) 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 \(H\)（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 \(H\)，并锯掉所有树比 \(H\) 高的部分（当然，树木不高于 \(H\) 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 \(20,15,10\) 和 \(17\)，Mirko 把锯片升到 \(15\) 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 \(15,15,10\) 和 \(15\)，而 Mirko 将从第 \(1\) 棵树得到 \(5\) 米，从第 \(4\) 棵树得到 \(2\) 米，共得到 \(7\) 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 \(H\)，使得他能得到的木材至少为 \(M\) 米。换句话说，如果再升高 \(1\) 米，他将得不到 \(M\) 米木材。

输入格式

第 \(1\) 行 \(2\) 个整数 \(N\) 和 \(M\)，\(N\) 表示树木的数量，\(M\) 表示需要的木材总长度。

第 \(2\) 行 \(N\) 个整数表示每棵树的高度。

输出格式

\(1\) 个整数，表示锯片的最高高度。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 7
20 15 10 17

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

5 20
4 42 40 26 46

输出 #2

说明/提示

对于 \(100\%\) 的测试数据，\(1\le N\le10^6\)，\(1\le M\le2\times10^9\)，树的高度 \(\le 4\times 10^5\)，所有树的高度总和 \(>M\)。

Tip

b站讲解

解题思路

1️⃣ 问题本质

你要找一个锯片高度 H，使得：

砍下来的木材 ≥ M
并且 H 尽可能大

👉 本质是：

在所有满足条件的 H 中，找最大值

2️⃣ 木材计算方式

对于一棵树高度 a[i]：

如果 a[i] > H → 贡献 a[i] - H
否则 → 贡献 0

总木材：

sum = Σ max(0, a[i] - H)

3️⃣ 单调性分析（核心！）

当 H 变化时：

H 增大	结果
锯得更高	砍得更少
总木材 ↓	单调递减

👉 得到关键性质：

H 越大，sum 越小（单调递减）

4️⃣ 二分的正确性

我们要找：

最大的 H，使得 sum ≥ M

根据单调性：

H 小 —— sum 很大 —— 一定满足
H 大 —— sum 很小 —— 不满足

👉 存在一个“分界点”：

满足区间：   [0 ........ H*]
不满足区间： [H*+1 ......]

👉 这就是标准二分模型！

5️⃣ 二分区间确定

最小高度：l = 0
最大高度：r = max(a[i])

6️⃣ 判定函数 check(H)

如果 sum >= M → 当前 H 可行（还能再高）
如果 sum < M  → 当前 H 太高（要降低）

7️⃣ 二分过程（关键逻辑）

if (check(mid)) {
    ans = mid;     // 记录当前可行解
    l = mid + 1;   // 尝试更大的 H
} else {
    r = mid - 1;   // 降低 H
}

👉 为什么 l = mid + 1？

因为我们要：

找“最大的可行值”

8️⃣ 举例理解

树：20 15 10 17，M = 7

H	木材
10	22
15	7 ✅
16	5 ❌

👉 答案是：

15（刚好满足且最大）

9️⃣ 时间复杂度

二分：log(4e5) ≈ 20
每次 check：O(n)

👉 总复杂度：

O(n log maxH)

可通过 n = 1e6

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int a[N];
int n;
long long M;

bool check(int H) {
    long long sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (a[i] > H)
            sum += (a[i] - H);
        if (sum >= M) return true; // 剪枝
    }
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> M;

    int maxh = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        maxh = max(maxh, a[i]);
    }

    int l = 0, r = maxh;
    int ans = 0;

    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;

        if (check(mid)) {
            ans = mid;
            l = mid + 1;  // 找更大
        } else {
            r = mid - 1;  // 降低
        }
    }

    cout << ans;
    return 0;
}