P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，\(1,2,\ldots ,n\)（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 \(n\)。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 \(n\)，计算并输出由操作数序列 \(1,2,\ldots,n\) 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 \(n\)（\(1 \leq n \leq 18\)）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

输入输出样例 #1

输入 #1

3

输出 #1

5

说明/提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

Tip

B站讲解
这题背后涉及到卡特兰数,有兴趣的可以看下面的文章
b站
CSDN

📌 题目分析

给定序列：

1,2,3,...,n

通过栈的 push / pop 操作，问一共能产生多少种不同输出序列。

👉 本质：

合法出栈序列数量

👉 类型：

经典 Catalan 数（卡特兰数） / DP

🧠 解题思路

1️⃣ 为什么是卡特兰数

每个数字都要经历：

入栈一次
出栈一次

共 2n 次操作。

并且任意时刻必须满足：

已出栈数 ≤ 已入栈数

也就是：

栈不能为空才能 pop

这类“合法括号序列 / 合法进出栈方案数”就是经典 Catalan 数。

2️⃣ 卡特兰递推公式

设：

dp[n] = n 个数的合法出栈序列数量

递推：

dp[0] = 1
dp[n] = dp[0]*dp[n-1] + dp[1]*dp[n-2] + ... + dp[n-1]*dp[0]

即：

dp[n] = Σ dp[i] * dp[n-1-i]

3️⃣ 为什么 n ≤ 18 可以直接 DP

数据范围很小：

n ≤ 18

Catalan(18)：

477638700

long long 足够。

4️⃣ 时间复杂度

两层循环：

O(n²)

最大仅 18，极快。

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💻 C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long dp[25];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    dp[0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j];
        }
    }

    cout << dp[n];

    return 0;
}

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⚠️ 易错点

❌ 1. dp[0] 忘记初始化

必须：

dp[0] = 1;

它表示空序列也算一种方案。

❌ 2. 用 int

虽然这题勉强够，但建议统一：

long long

❌ 3. 误以为要模拟栈

这题如果暴力枚举所有出栈序列会非常复杂。

实际上考的是：

数学规律 + DP

🚀 一句话总结

合法出栈序列数量 = 第 n 个卡特兰数

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🔥 补充

卡特兰数出现的场景：

• 合法括号序列数量
• 栈的出栈方案数
• 二叉树形态数
• 凸多边形划分数

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